七桥问题一笔画问题欧拉一笔画定理

风雷寅曌客 — Tue, 22 May 2018 05:57:08 +0000

七桥问题一笔画问题欧拉一笔画定理

作者：【webmaster】

风雷寅曌客周二, 05/22/2018 - 13:57

向

伟大的数学家欧拉

致敬！

莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），

瑞士数学家、自然科学家。

1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。

欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。

13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。

欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。

他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。

欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

此外，欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。

欧拉向圣彼得堡科学院提交《哥尼斯堡的七座桥》的论文时，只有29岁，在解答问题的同时，他开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑。

欧拉是一个天才，在数学史上的地位就像牛顿在物理学的地位一般伟大，28岁时，由于生病，欧拉的右眼失明了。晚年时左眼也失明了。

但是就在双目失明的情况下，欧拉还凭借心算解决了许多的数学问题。

他不光是数学史上里程碑式的人物，同时也是一位物理学家，为物理学的发展铺平了数学的道路。

在他的一生中写出了886本书籍和论文，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙了47年！

法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。

数学史上公认的4名最伟大的数学家分别是：阿基米德、牛顿、欧拉和高斯。

阿基米德有“翘起地球”的豪言壮语，

牛顿因为苹果闻名世界，

高斯少年时就显露出计算天赋，

唯独欧拉没有戏剧性的故事让人印象深刻。

什么样的图形只用一笔就能画出来？笔既不离开纸面，笔迹也不能重复。这实际上是十八世纪一个经典的数学问题：哥尼斯堡七桥问题。

七桥问题

在普鲁士的哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）有一个公园，公园里有七座桥将普雷格尔河中两个岛与与河岸连接起来。

1736年，当地居民举办了一项有意思的健身活动：在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次，而且起点与终点必须是同一地点。

有许多人进行了尝试，但是都失败了。

此时当时世界上最伟大的数学家--欧拉刚好在这里，他敏锐的发现这里蕴藏着深刻的数学内涵，并把它称为一笔画问题。

欧拉把七座桥画作七条线段，并把问题转化为：是否可以通过一笔将这个图形画出来。经过思考，欧拉认为这是不可能的。

不仅如此，欧拉还得出了，哪些图形可以一笔画，哪些不能一笔画的条件。

欧拉把图形中的点分为两种：

如果过该点的线段有偶数条，就称为偶点；

如果过该点的线段有奇数条，就称为奇点。

欧拉指出：如果一个图形可以一笔画，那么它的奇点个数一定是 0个或者 2 个。

如果奇点个数是 0个，那么起点和终点是同一个点，从图形中任何一点出发都可以一笔画。

如果奇点个数是 2 个，那么只能从一个奇点出发，画到另一个奇点，才能将图形画出来。

下面解释一下为什么：

1、如果一个点既不是起点也不是终点，那么线段经过该点时，必然是一进一出，线段成对出现，一定是偶点。

2、如果起点和终点是一个点，那么该点有一条出发线段和一条结束线段，也是偶点。

3、如果这个点只是出发点，或者只是结束点，才可能是奇点。

所以，如果从一点出发一笔画回到这个点，图形中就不会有奇点；如果从一点出发一笔画到另一点，图形中就会有两个奇点。

下面再来看看格尼斯堡七桥问题：

可以看出，经过 A、C 或 D 各有3条线段，所以 A、C 和 D 都是奇点；过 B 有 5条线段，所以 B 也是奇点。所以该图中共有 4个奇点，是不能一笔画的。

一笔画定理

⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。

⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)

对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧拉图。

小练习：

请问 “日” 和 “田” 字可以一笔画吗？可以的话，请给出笔画经过的轨迹路线，如果不可以，那么最少需要几笔即可画成，并说明每笔画经过的轨迹路线。^_^

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欧拉

七桥问题 一笔画问题 欧拉一笔画定理

1707年4月15日出生于瑞士的巴塞尔，1783年9月18日于俄国圣彼得堡去世。

欧拉出生于牧师家庭，自幼受父亲的影响。

13岁时入读巴塞尔大学，15岁大学毕业，16岁获得硕士学位。

欧拉是18世纪数学界最杰出的人物之一，他不但为数学界作出贡献，更把整个数学推至物理的领域。

他是数学史上最多产的数学家，平均每年写出八百多页的论文，还写了大量的力学、分析学、几何学、变分法等的课本，《无穷小分析引论》、《微分学原理》、《积分学原理》等都成为数学界中的经典著作。

欧拉对数学的研究如此之广泛，因此在许多数学的分支中也可经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理。

此外，欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。

欧拉向圣彼得堡科学院提交《哥尼斯堡的七座桥》的论文时，只有29岁，在解答问题的同时，他开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑。

欧拉是一个天才，在数学史上的地位就像牛顿在物理学的地位一般伟大，28岁时，由于生病，欧拉的右眼失明了。晚年时左眼也失明了。

但是就在双目失明的情况下，欧拉还凭借心算解决了许多的数学问题。

他不光是数学史上里程碑式的人物，同时也是一位物理学家，为物理学的发展铺平了数学的道路。

在他的一生中写出了886本书籍和论文，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙了47年！

法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。

数学史上公认的4名最伟大的数学家分别是：阿基米德、牛顿、欧拉和高斯。

阿基米德有“翘起地球”的豪言壮语，

牛顿因为苹果闻名世界，

高斯少年时就显露出计算天赋，

唯独欧拉没有戏剧性的故事让人印象深刻。

什么样的图形只用一笔就能画出来？笔既不离开纸面，笔迹也不能重复。这实际上是十八世纪一个经典的数学问题：哥尼斯堡七桥问题。

七桥问题

在普鲁士的哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）有一个公园，公园里有七座桥将普雷格尔河中两个岛与与河岸连接起来。

1736年，当地居民举办了一项有意思的健身活动：在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次，而且起点与终点必须是同一地点。

有许多人进行了尝试，但是都失败了。

此时当时世界上最伟大的数学家--欧拉 刚好在这里，他敏锐的发现这里蕴藏着深刻的数学内涵，并把它称为一笔画问题。

欧拉把七座桥画作七条线段，并把问题转化为：是否可以通过一笔将这个图形画出来。经过思考，欧拉认为这是不可能的。

不仅如此，欧拉还得出了，哪些图形可以一笔画，哪些不能一笔画的条件。

欧拉把 图形中的 点 分为两种：

如果 过该点的线段 有 偶数条，就称为 偶点；

如果 过该点的线段 有 奇数条，就称为 奇点。

欧拉指出：如果一个图形可以一笔画，那么它的奇点个数一定是 0个 或者 2 个。

如果 奇点个数 是 0个，那么起点 和 终点 是同一个点，从图形中任何一点出发都可以一笔画。

如果 奇点个数是 2 个，那么 只能从 一个奇点 出发，画到 另一个奇点，才能 将图形画出来。

下面解释一下为什么：

1、如果一个点 既不是 起点 也不是 终点，那么线段 经过 该点 时，必然 是 一进一出，线段 成对 出现，一定是 偶点。

2、如果起点和终点是一个点，那么该点有一条 出发线段 和 一条 结束线段，也是偶点。

3、 如果这个点只是出发点，或者只是结束点，才可能是奇点。

所以，如果从一点出发 一笔画 回到 这个点，图形中就 不会有 奇点；如果从一点出发 一笔画到 另一点，图形中就会有 两个 奇点。

下面再来看看格尼斯堡七桥问题：

可以看出，经过 A、C 或 D 各有3条线段，所以 A、C 和 D 都是奇点；过 B 有 5条 线段，所以 B 也是奇点。所以该图中 共有 4个 奇点，是不能一笔画的。

一笔画定理

⒈凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成。画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图。

⒉凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成。画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点。

⒊其他情况的图都不能一笔画出。(奇点数除以二便可算出此图需几笔画成。)

对于一个连通图，通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路。人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路。具有欧拉回路的图叫做欧拉图。

小练习：

请问 “日” 和 “田” 字 可以一笔画吗 ？可以的话，请给出笔画经过的轨迹路线，如果不可以，那么最少需要几笔即可画成，并说明每笔画经过的轨迹路线。^_^

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七桥问题一笔画问题欧拉一笔画定理

此时当时世界上最伟大的数学家--欧拉刚好在这里，他敏锐的发现这里蕴藏着深刻的数学内涵，并把它称为一笔画问题。

欧拉把图形中的点分为两种：

如果过该点的线段有偶数条，就称为偶点；

如果过该点的线段有奇数条，就称为奇点。

欧拉指出：如果一个图形可以一笔画，那么它的奇点个数一定是 0个或者 2 个。

如果奇点个数是 0个，那么起点和终点是同一个点，从图形中任何一点出发都可以一笔画。

如果奇点个数是 2 个，那么只能从一个奇点出发，画到另一个奇点，才能将图形画出来。

1、如果一个点既不是起点也不是终点，那么线段经过该点时，必然是一进一出，线段成对出现，一定是偶点。

2、如果起点和终点是一个点，那么该点有一条出发线段和一条结束线段，也是偶点。

3、如果这个点只是出发点，或者只是结束点，才可能是奇点。

所以，如果从一点出发一笔画回到这个点，图形中就不会有奇点；如果从一点出发一笔画到另一点，图形中就会有两个奇点。

可以看出，经过 A、C 或 D 各有3条线段，所以 A、C 和 D 都是奇点；过 B 有 5条线段，所以 B 也是奇点。所以该图中共有 4个奇点，是不能一笔画的。

请问 “日” 和 “田” 字可以一笔画吗？可以的话，请给出笔画经过的轨迹路线，如果不可以，那么最少需要几笔即可画成，并说明每笔画经过的轨迹路线。^_^